多因子组合一般使用IC(均值)加权、IC_IR加权、因子等权等方法构造。本篇报告将博弈论的方法应用于多因子加权，为每个因子分配权重。
在证券投资中，博弈论的研究对象是能够定量化的资产，例如具体证券、指数或者因子，而不是形象化的投资者。
博弈论中有参与者、策略(参与者的决策选项)、支付函数(参与者从博弈中获得的收益)、均衡等概念，以下举例介绍。
在表1所示的博弈中，有估值因子、市场基准两个参与者，估值因子的目标是能够战胜市场基准，市场基准的目标则相反，是战胜估值因子。
估值因子有两个策略：BP和SP，也就是估值因子可以通过选择合适的策略(细分因子)来实现它战胜市场的目标。市场基准也有两个策略，上涨和下跌，即市场基准可以通过选择不同的市场状态来战胜估值因子。
表1是这个博弈的收益矩阵，其中的数字是估值因子的博弈收益。假定这是一个零和博弈，因子的收益就是市场基准的损失。当估值因子选择BP策略、市场基准选择上涨策略时，估值因子的收益为0.9687，则市场基准的收益为-0.9687。
表1中的博弈设定具有灵活性，例如估值因子可以使用其他策略或更多策略(更多细分因子)，市场基准也可以使用其他策略，例如波动水平，或其他能够刻画市场状态的分类方法。
纳什均衡是非合作博弈中的概念。在一个博弈中，如果在其他参与者策略确定的情况下，每一位参与者当前的策略都是最优的，参与者没有动机改变当前策略，这个策略组合就被称为纳什均衡。
根据纳什定理，在参与者有限且策略数量有限的博弈中纳什均衡一定存在，但存在的可能是混合策略纳什均衡。混合策略是指博弈的参与者可以以某种概率分布随机地选择多个策略；相对应地，纯策略是指参与者只能选择一个策略。
在表1中，如果只能在估值因子中选择BP或SP其中的一个，就是纯策略；如果可以使用不同权重同时选择BP和SP，就是混合策略。实际投资一般都是混合策略博弈，因为需要在多个股票、多个资产之间分配权重，而不是只投资于一个。
当博弈达到纳什均衡时，参与者对于策略的选择是最优的，再改变策略也不会有更高的收益。对表1计算纳什均衡的结果为：价值因子选择BP、市场基准选择上涨，价值因子的博弈收益为0.9687，BP的权重是100%，这是一个纯策略纳什均衡。
在一个合作博弈中，如果有N个参与者，参与者之间可以结成联盟，则联盟的数量为2^N个(含空集)，每个联盟的收益被称为特征函数。
如果知道每个参与者联盟(既包括单个参与者，也包括多个参与者的组合)的特征函数(收益贡献)，那么可以通过Shapley值规则在参与者之间进行利益分配。对于投资来说，就是根据资产组合的收益分配各个资产的权重。Shapley值越大，参与者分配得到的利益越多，资产的权重越高。参与者的Shapley值的计算公式为
Shapley值的直观解释是参与者 𝑖 获得的分配等于它对各个联盟的边际贡献的概率加权值，衡量的是参与者的不可或缺性。
我们以A、B、C三只股票形成的合作博弈进行说明。三只股票共有种投资组合形式，假定每个股票组合的收益是已知的，如表2所示，现在需要分配三只股票的权重。股票权重分配规则可以有很多种，我们按Shapley值的规则计算。
无论是应用于选股还是因子加权，或者其他投资标的，最终的目标都是要在合作博弈中通过Shapley值规则计算资产权重。
在表2的例子中，各个股票组合的收益是最关键的变量，我们假设它是已知的，因此可以直接计算权重。但在实际投资中股票组合收益并不容易获得，往往需要预测。
本文中我们将合作博弈与非合作博弈结合使用：将因子看做资产，首先使用非合作博弈的方法，计算每个资产组合与市场基准博弈并且达到纳什均衡时的收益，将其作为资产组合的特征函数(组合收益)；再使用Shapley值规则根据组合收益计算每个资产的权重。
过程示意如下：
我们选取了7个常见的大类因子以及相应细分因子，大类因子分别为：规模、估值、动量、成长、波动、流动性、盈利能力。
在博弈论框架内，这7个大类因子是博弈的参与者，它们还应有各自的策略，即决策选项。从投资的角度出发，策略应当是具体的细分因子。
因此总结起来就是：大类因子=博弈参与者，细分因子=参与者的策略，这和将细分因子合成为大类因子在逻辑上是相通的。
例如对于作为参与者的盈利能力因子来说，净资产收益率和毛利率是它的两个具体策略。盈利能力因子在与市场基准博弈时，为了能够战胜市场基准，它可能只使用净资产收益率，或者只使用毛利率，或者以不同权重同时使用两个指标。
每个大类因子参与者的策略数量可以是不相等的，但这里为了计算方便，对每个大类因子都指定2个策略，具体见表3。在与IC加权等其他方法组合进行效果对比时，对其他方法也都使用相同的因子列表。
当将因子看做资产时，因子的收益风险特征可以使用因子收益率、因子IC等指标表征；因子在使用时做去极值、z-score标准化、行业和市值中性处理。
由于Shapley值的计算结果均为正数，无法体现负值的因子权重，因此在计算前需要先调整因子的收益方向。
博弈的另一方参与者是市场基准指数，市场基准的策略选择有一定灵活性，一般来说市场状态分类变量都可以作为策略，例如市场的上涨或下跌、低波动或高波动等特征分类。
因子加权选股组合的目标是战胜市场基准，因此将博弈的一方设定为大类因子，另一方设定为市场基准指数。市场基准的策略实际上起到了情景分析的作用，刻画了因子在不同市场情景下的表现。例如低估值因子在市场下跌时可能有正向超额收益，在市场上涨时可能有负向超额收益。这一情景分析的特点是传统的因子加权方法所不具备的。衡量博弈结果需要有具体的收益度量指标。收益度量可以使用因子收益率或因子IC值，从回测表现来看两者没有太大区别。收益矩阵
收益矩阵是计算因子博弈收益的基础。
表1已经展示了估值因子参与者与市场基准博弈的收益矩阵，还需要确定另外6个参与者与市场基准博弈的收益矩阵。我们此处基于历史数据来生成收益矩阵，当然收益矩阵的生成也可以是主观的或基于预测的。生成收益矩阵时，首先选定过去日长度的历史周期，对历史周期内的市场基准指数根据其博弈策略对每个交易日进行状态分类，并聚合统计每个状态类别内每个因子的收益，就得到了收益矩阵。这一过程的灵活性很高，市场基准状态分类、因子收益度量、聚合统计方法都可以结合多种方式。
在Shapley值计算中要保证收益贡献≥0，但实际的因子收益可能为负。由于我们关注的是因子对市场基准的相对收益，对收益的绝对数值并不敏感，因此可以对全部因子的博弈收益减去最小值，最后得到非负的收益矩阵。
根据市场涨跌进行状态分类，使用因子IC_IR度量收益，对不同状态分类内的因子收益用均值聚合，得到如下的收益矩阵。
表4的收益矩阵是每个因子与市场基准的博弈收益。但我们不仅要关注单个因子的收益矩阵，还要关注因子之间形成组合后的收益矩阵，这样才能更全面的评价因子组合后的效果。7个大类因子的组合形式共有个，剔除一个空集后是127个。每一个组合都有类似表1的收益矩阵，再对每个收益矩阵计算纳什均衡。下面以三个因子的组合为例介绍。首先三个因子组合共有35个，从中选择一个组合，例如规模、估值、成长3个因子，其中每个因子又有2个策略。它们所形成的收益集合是规模、估值、成长3个因子的笛卡尔积，共有2×2×2=8种情况，将其作为新的收益矩阵。对新的收益矩阵表5计算纳什均衡，得到3个因子组合的博弈收益为3.4307。
按照上述方法计算全部128个因子组合形式的博弈收益，可以得到与表2形式相同的数据。在128个因子组合博弈收益的基础上可以计算Shapley值，Shapley值的相对占比就是因子权重。下面是基于示例数据的大类因子权重计算结果。
除大类因子外，也可以进一步计算参与者博弈的策略，即细分因子的权重。本例中每个大类因子内部最后只选择了一个细分因子，即纯策略博弈。
我们使用博弈论的方法计算因子权重，得到多因子组合净值，观察超额收益的走势。博弈的收益使用因子IC_IR度量，市场状态的分类方式为上涨和下跌。同时也计算IC加权、IC_IR加权、因子等权三种组合进行对比，IC加权、IC_IR加权均使用过去12个月IC计算权重。所有多因子组合的选股范围为中证800，月频调仓，股票间等权加权，大类因子值使用标准化后的细分因子等权合成，选择加权大类因子值最高的100只股票，不做针对基准的行业和风格偏离约束，回测区间为2010/1/1-2023/11/20。我们首先保持表3中的因子方向不变，每月更新博弈论方法计算的因子权重，实际是在因子等权的基础上进行权重调整。从回测走势看，博弈论因子加权组合超额收益高于IC加权和IC_IR加权，但低于因子等权组合；与因子等权组合相比，博弈论因子加权组合超额收益的波动幅度更低。
当保持因子方向不变时，博弈论因子加权组合的效果相当于在因子等权基础上进行权重调整，灵活性仍然不足。例如在2021年初，小盘股大幅跑输大盘股，如果始终保持小盘股的正向权重配置，超额收益就会出现明显回撤。
我们借鉴IC加权的思路，在使用博弈论计算因子权重的同时，根据过去一段时间IC均值的正负符号确定因子方向。回测显示博弈论因子加权组合的超额明显提升，与因子等权组合相比，避免了2021年初的超额收益大幅回撤。
博弈论因子加权组合表现更优
我们统计了各个因子加权组合按幅度排序的前5次超额收益最大回撤，以及组合波动情况。
IC加权、IC_IR加权、因子等权、博弈论加权(固定因子方向)、博弈论加权(调整因子方向)的前5次超额收益最大回撤的平均幅度分别为10.12%、10.91%、11.49%、9.92%、8.33%；平均回撤持续天数分别为102、107、119、99、52天。博弈论加权因子组合的超额收益稳定性明显更优。博弈论因子加权组合的风险调整后收益指标也都有明显改善。
当市场风格快速大幅切换时，例如2014年末，博弈论因子加权组合超额收益有较大回撤，这与其他因子加权方式具有相似性。对风格快速切换的反应不及时仍是策略失效的主要原因。
观察历史上的前5次超额收益最大回撤，一般都伴随着市值风格或成长价值风格的快速切换。
博弈论因子加权方法本质上仍是基于因子市场表现的动量，这与其他因子加权方法相似。
但和其他因子加权方法相比，博弈论因子加权方法仍有一些显著区别：1.不仅考察单个因子的表现，还考察多个因子形成的因子组合的表现，充分考虑了因子组合的效果、因子的边际贡献，评估维度更加全面。因此即使单个因子自身表现好，但如果它加入因子组合后整体效果不佳、收益贡献低，最终也会降低它的权重。通过计算单个因子IC滚动均值与当期因子权重的相关性，可以发现部分时点两者呈现低相关甚至负相关，正是这一特点的体现。
2.可以将因子IC、因子IC_IR、半衰加权等指标和方法融入其中，例如在计算收益矩阵使用因子IC_IR、确定因子方向时使用因子IC。
3.提供了根据市场状态对因子表现进行情景分析的功能，这可以通过指定不同的市场基准博弈策略来实现。
量化报告的结论基于历史统计规律，当历史规律发生改变时，报告中的模型和结论可能失效。
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