我们的问题是，基于股票价格序列观测值构建一个随时间变化的投资组合。假设有S支股票，以符号i为索引，观测值是股票价格的离散时间序列，其中，是股票i在时刻t的价格。我们主要考虑股票的收益率，而非原始价格。股票i在时刻t的收益率定义为。

投资组合可表示为股票的权重向量，其中是股票i在时刻t的投资数量，满足。投资组合可以理解为一种特殊的交易策略，即意味着投资者在时刻t对股票i持有数量为的多头头寸，而则意味着对该股票持有空头头寸。给定投资组合，其在时刻t的总收益，那么，给定个股收益的历史观测值，我们的任务就是确定能够最大化未来收益的。

定义1（零投资组合）：零投资组合是指多头头寸和空头头寸平衡的投资组合，即。

在实践中，收益观测和实际执行交易之间可能会有延迟。考虑到这种延迟，我们在实验中采用了延迟参数d。当我们在延迟d天的情况下进行交易时，总收益应为。

根据现代投资组合理论(Markowitz 1952)，投资者构建投资组合的目的是在特定的可接受风险水平下实现预期收益最大化。标准差通常用于量化风险或多变性，所谓多变性是指衡量股票年收益率偏离其长期历史均值的程度(Kintzel 2007)。

夏普比率(Sharpe 1994)是金融领域最常用的风险/收益衡量标准之一。它是指每单位波动所获得的超过无风险利率的平均收益。夏普比率的计算公式为，其中是投资组合的收益，是投资组合超额收益的标准差，是无风险资产（如政府债券）的收益。对于零投资组合，我们可以省略，因为它不需要股权(Mitra 2009)。

在本文中，我们采用夏普比率作为投资组合构建问题的目标。由于我们不可能总是事先获得总风险的估计值，因此我们通常会考虑下一期夏普比率的序列最大化。一旦我们得到未来收益的均值向量和协方差矩阵的预测值，最优投资组合就可以求解为，其中，λ是代表相对风险厌恶程度的预定义参数，Σ是估计的协方差矩阵，是估计的均值向量(Kan and Zhou 2007)。因此，预测均值和协方差对于构建风险厌恶的投资组合至关重要。

在本节中介绍我们所提出的系统的详细信息，如图表2所示。我们的系统由三部分组成。在第一部分(i)中，系统提取残差信息以对冲共同市场因子的影响。为此，我们在第3.1节中引入了谱残差，这是一种基于谱分解的新方法。在第二部分(ii)中，该系统使用基于神经网络的预测器来预测谱残差的未来分布。在第三部分(iii)中，利用预测的分布信息构建最优的投资组合。我们将在第3.2节中概述这些步骤。此外，我们还引入了一种新颖的网络架构，它结合了众所周知的金融归纳偏差，我们将在第3.3节中对此进行解释。

3.1 提取残差因子

正如引言所述，本文的重点是开发基于残差因子的交易策略，其中残差因子是指在对冲共同市场因子后的剩余信息。本文引入了一种新的提取残差信息的方法，称之为谱残差。

谱残差的定义：首先，从投资组合理论中引入一些概念。假设r是一个均值为零、协方差为的随机向量，表示S支股票在给定的投资期限内的收益。由于Σ是对称的，存在分解，其中为正交矩阵，是对角线元素为特征值的对角矩阵。然后，我们可以构建一个新的随机向量，其坐标分量互不相关。在投资组合理论中，被称为主要投资组合(Partovi and Caputo 2004)。主要投资组合已被用于“风险平价”方法，以分散市场上内在风险来源的风险(Meucci 2009)。

由于第i个主要投资组合的波动率（即标准差）为，因此原始收益序列对具有较大特征值的主要投资组合有较大的风险敞口。例如，第一主要投资组合可以被视为与整体市场对应的因子(Meucci 2009)。因此，为了对冲共同市场因子，一个自然的想法是舍弃几个特征值最大的主要投资组合。形式上，我们对谱残差定义如下。

定义2 设C(<S)为给定的正整数。定义谱残差为通过将原始收益向量r投影到特征值最小的S-C个主要投资组合所成的空间上而得到的向量。

在实践中，我们计算谱残差的经验版本如下。给定时间窗口H>1，定义窗口信号，并用表示由减去行向量的经验均值后得到的矩阵。通过奇异值分解（SVD），可以分解为

其中，是一个S×S维的正交矩阵，是一个S×H维的矩阵，其行向量为相互正交的单位向量，为奇异值。注意到，为主要投资组合的已实现收益，那么，计算s(t-H≤s≤t-1)时刻的经验谱残差的计算公式为

其中，为投影矩阵，其定义为

与因子模型的关系 尽管我们通过PCA定义了谱残差，但它们也与生成模型(1)相关，从而传递了原始意义上“残差因子”的信息。

金融文献指出，仅依赖于式(1)中残差因子的交易策略可以对整体市场的结构变化保持稳健性(Blitz, Huij, and Martens 2011; Blitz et al. 2013)。虽然线性因子模型(1)中的参数估计通常基于因子分析（FA）方法(Bartholomew, Knott, and Moustaki 2011)，但谱残差与从FA中得到的残差因子并不完全相同。尽管如此，我们可以证明以下结果，即在合适的条件下，谱残差能够对冲共同市场因子。

命题1 设是由线性模型生成的随机向量，其中B为S×C维矩阵，，为零均值随机向量。假定以下条件成立：

• 

• f和ε的坐标分量互不相关，即对任意的和，成立，，。

那么，我们有

(i). 式(2)中定义的谱残差与共同因子f不相关。

(ii). 的协方差矩阵为，在适当的假设下可以近似为对角矩阵，这意味着谱残差的坐标变量几乎是不相关的。

在上述命题中，第一个命题(i)表明，谱残差可以在不知道确切的残差因子的情况下消除共同因子。后一个命题(ii)证明了预测的协方差矩阵可以近似为对角矩阵，这将在下一小节中使用。为完整起见，我们在附录B中提供了证明。此外，ε是各向同性的假设可以在以下意义上得到放宽。如果我们假设残差因子ε是几乎各向同性的，且共同因子Bf比ε具有更大的波动贡献，那么可以证明在谱残差中使用的线性变换接近于消除市场因子的投影矩阵。由于形式上的表述有些复杂，我们在附录B中给出了详细证明。

此外，谱残差的计算速度明显快于基于FA的方法，这是因为FA通常需要反复执行SVD来解决非凸优化问题，而谱残差只需要一次。第4.2节给出了运行时间的实验比较。

我们的下一个目标是根据提取的信息构建投资组合。为此，我们在这里介绍一种预测谱残差未来分布的方法，并解释如何将分布特征转化为可执行的投资组合。

分布预测 给定已实现残差因子序列，考虑预测未来观测值的分布问题。我们的方法是使用一个学习条件分布的预测器。由于我们的最终目标是构建投资组合，因此我们只使用预测的均值和协方差，而不需要条件分布的完整信息。尽管如此，拟合正态分布等对称模型可能会有问题，因为众所周知，收益率的分布往往是偏斜的(Cont 2000; Lin and Liu 2018)。为了避免这一点，我们利用分位数回归(Koenker 2005)这一现成的非参数方法来估计条件分位数。直观地说，如果我们获得了目标变量的足够多的分位数，我们就可以重建该变量的任何分布性质。我们训练一个预测多个条件分位数的函数ψ，并将其输出转换为条件均值和方差的估计量。整个过程是可微的，因此我们可以将其纳入现代深度学习框架。

下面我们将详细介绍上述步骤。首先，我们概述一下分位数回归的目标。设Y是一个标量随机变量，X是另外的随机变量。对于α∈(0,1)，给定X=x，Y的条件α分位数被定义为

其中为弹球损失函数，定义为

对于当前情况，目标变量是，解释变量是。我们希望构造一个函数来估计的条件分位数。为此，分位数回归试图解决以下最小化问题

其中，为在整个时间范围内关于和的经验期望。我们应该注意到Biau和Patra（2011）的研究中也考虑了分位数回归预测时间序列条件分位数的类似应用。

接下来，设Q>0为给定整数，并设为等距分位数网格。我们考虑通过函数同时估计α分位数的问题，为此，定义损失函数为

其中，是的第j个坐标分量。

一旦我们得到估计的Q-1个分位数，我们就可以估计目标变量的未来均值为

同样，我们可以通过的样本方差来估计未来的方差

投资组合构建 根据对未来谱残差的均值和方差的估计，我们最终基于现代组合理论提供的最优性标准构造组合(Markowitz 1952)。如第2.2节所述，最优投资组合公式需要收益的均值和协方差。根据命题1-(ii)，我们可以用对角矩阵来近似谱残差的协方差矩阵。精确地说，一旦我们计算出时刻t的均值和谱残差的预测值，第j个资产的权重为。

在第4节的实验中，我们比较了零投资组合的表现。对于不输出零投资组合的交易策略，我们对投资组合应用一种普遍的转换方式，使其中心化和标准化。因此，最终的投资组合并不依赖于风险厌恶系数。详见附录A.1。

对于分位数预测模型ψ，我们引入了两种神经网络模型架构，它们都考虑了金融学中研究的尺度不变性。

波动率不变性 首先，我们考虑金融时间序列振幅的不变性。众所周知，金融时间序列数据表现出一种称为波动聚集的特性(Mandelbrot 1997)。粗略地说，波动聚类效应描述了这样一种现象：金融时间序列的大幅波动往往伴随着下一时段的大幅波动，而小幅波动往往伴随着下一时段的小幅波动。因此，如果我们可以将某一信号看作金融时间序列，那么通过正标量乘法得到的信号可以被视为金融时间序列的另一种可信实现。

为了将这种振幅不变性纳入模型架构中，我们利用了正齐次函数类。这里，称函数是正齐次的，若对任何和成立。例如，我们可以发现，任何线性函数和任何没有偏置项的ReLU神经网络都是正齐次的。更一般地，我们可以对正齐次函数类进行如下建模。设是定义在H-1维球体上的任意。然后，我们得到正齐次函数

因此，我们可以将球面上的任何函数类转换为振幅不变预测模型。

时间尺度不变性 其次，我们考虑时间尺度的不变性。有一个众所周知的假设，即股票价格的时间序列具有分形结构(Peters 1994)。分形结构是指序列的自相似性。也就是说，如果我们在几个不同的采样率中观察序列，我们就不能从下采样序列的形状中推断出潜在的采样率。分形结构已在多个实际市场中观察到(Cao, Cao, and Xu 2013; Mensi et al. 2018; Lee et al. 2018)。有关这一特性的进一步讨论，请参见附录A.2中的注释1。

为了利用分形结构的优势，我们提出了一种新颖的网络结构，我们称为分形网络。其主要思想是，我们通过对具有不同采样率的多个子序列应用一个共同操作来有效地利用自相似性。通过这种方法，我们预计可以提高采样效率，并减少需要训练的参数数量。

在此，我们将简要介绍所提架构，同时将在附录A.2中给出更详细的解释。我们的模型由两部分组成：(a)重采样机制；(b)两个神经网络和。我们模型的输入输出关系描述如下。首先，给定单个股票收益序列x，重采样机制Resample(x, τ)会生成一个序列，该序列与尺度参数0<τ≤1指定的采样率相对应。我们对L个不同的参数，生成L个序列。接着，我们应用一个由神经网络建模的普通非线性变换。最后，通过提取这些序列的经验平均值，我们汇总了不同采样率的信息，并应用另一个网络。总之，整个过程可以用以下方程来表示

我们使用开盘价的原因如下。首先，开盘时段的交易量大于收盘时段的交易量(Amihud and Mendelson 1987)，这意味着用开盘价交易实际上比用收盘价交易更容易。此外，金融机构不能在收盘期间大量交易股票，因为这会被视为一种非法行为，即所谓的“尾盘冲击”。

共同实验设置 我们采用延迟参数d=1（即延迟一天）来更新投资组合。我们将回溯窗口大小设为H=256，即所有预测模型都可以使用之前256个交易日的历史股票价格。有关实验中使用的其他参数参见附录C.3。

评估指标 我们列出了在整个实验中使用的评估指标。

• 累积财富（CW）是交易策略产生的总回报：
• 年化收益率（AR）是投资期限为一年所获的收益率，定义为
  ，其中T_Y是一年中的平均持有期数
• 年化波动率（AVOL）的定义为
• 年化夏普比率（ASR）是风险调整后的年化收益率(Sharpe 1994)，定义为