多数基金行业关于投资业绩研究的报告都是基于无条件或有条件（如alpha估计）收益的算术平均值，且通常在相对较短的时间内（通常是每月）衡量。然而，投资和决策的期限可长达几十年，不同的投资者之间也存在差异，因此，较长期限内积累的复利收益也应被纳入基金业绩的实证衡量标准中。

过往学术文献中，Lan等(2021)研究了复利期最长为5年的共同基金收益，但研究的重点并非收益测量区间本身的影响，而是复利收益和基金经理在其投资组合中保留股票平均时间之间的关系。其余研究股票的文献主要集中在收益测算范围从每天到每年，信息和交易摩擦的相关性较为明显。Gilbert等（2014）估计了股票投资组合在每日到每季的范围内的指数和betas，并认为不同范围的差异是由企业的不透明性，即投资者在评估事件价值影响方面的难度所解释。Boguth等(2016)把重点放在缓慢的信息扩散上，以此解释从日度到年度不同的组合收益。Kamara等（2016）关注了异质性的股价反应，评估了系统性因素在某些月度到半年度的水平上赚取风险溢价的程度。Kothari等(1995)估计，当收益在年度而非月度范围内衡量时，与CAPM betas相关的正收益溢价。

与上述研究不同的是，本文关注的是可忽略摩擦的较长期限收益，以强调期限本身的影响。Arditti和Levy（1975）贡献了关于长周期复利的随机收益理论和证据，他们首先证明，即使短周期收益是对称的，但长期复利收益是正偏的。Bessembinder（2018）记录了单个股票的长期复利收益分布中强烈的正偏度，并探讨了其影响。

基于过往研究基础，本文献探讨了在过去的30年里，美国权益共同基金的表现，发现优于SPY ETF的基金百分比随着衡量收益的时间跨度增加而大幅下降。此外，一些月度alpha估计值为正的基金，其长线alpha收益率为负，反映了基金收益分布中的正偏态。

此外，当考虑费用、因子载荷与基金特征等影响因素时，发现该正偏态仍然显著。在引入资金加权收益率以度量投资者实得财富时，发现基金经理的管理技能不足以抵消费用和投资者资金流的综合影响，基于费用后收益的财富增值结果总体上是负的。

使用SPY ETF作为主要的市场基准，使用的基金样本为来自CRSP的1991-2020年内除ETF、目标日期基金、对冲基金和杠杆基金外的数据，共计7883只共同基金，其中包括525只指数基金。图表1显示，平均月基金收益率（扣除费用）为0.776%，而平均月费用为0.095%。相对应SPY收益的平均值为0.835%，市值加权平均收益为0.882%。TNA平均值为11.77亿美元，中位数为1.49亿美元。TNA的分布表现出强烈的正偏态，证明存在一些规模非常大的基金，相比之下，月度基金收益的分布没有强烈的偏斜；样本的偏度系数为-0.425，1.16%的收益中值大于0.78%的平均收益。图表 8的Panel A显示了月度收益率的频率分布，直观地显示了适度的负偏度，在-10%至-20%附近的观察值略多于正10%至20%。

图表2显示了样本基金数量和样本基金每年的总TNA。共同基金的数量从1991年的约1000只迅速增加到2002年的3400多只，直到2007年保持相对稳定，然后在2008年扩大到约4300只。样本基金的总TNA不仅在样本期的最初几年迅速上升，从1991年的约3000亿美元到2000年的约2.8万亿美元，而且此后继续增加，到2020年约为9.5万亿美元。

为评估共同基金在不同时期的表现，通过对每月基金收益的复利计算得到对应的买入并持有收益。由于收益数据包括任何股息或其他现金分配，买入并持有收益隐含假设股息和分配以相当于月末资产净值的价格再投资于基金份额。（在第5节中，将报告不依赖股息再投资假设的结果）在某些情况下，复利收益计算覆盖的月份少于日历区间包含的月份；例如，若样本中只包含某只基金在日历年12个月中的10个月的收益，那么该基金和该年的收益就只在这10个月中复利。如果只包括一年或十年中所有月份都存在的基金，将会存在幸存者偏差，而假设基金在缺失的月份会获得类似的收益，则在某些情况下会导致极端和反事实的结果。

计算一个月的美国国库券、市值加权市场（从Kenneth Frenc的网站上获得）和SPY ETF的买入和持有收益作为基准。计算基准收益的时期需与基金收益相匹配。例如，如果某只基金在某十年内有105个月的收益数据，那么该基金和十年的基准收益将基于相同的105个月计算。

同时构建哑变量：当某一基金的买入并持有收益率在特定时间段内超过基准时，该变量等于1，否则等于0。图表1报告了上述哑变量在样本月度数据中的平均值。只有60.2%的基金月度收益率超过同月的国库券收益，反映了股票收益的高波动性。46.3%的基金月收益率超过了同月的市值加权市场收益率，而47.2%的基金月收益率超过了同月的SPY ETF收益率。

对于多月期限，还将遵循Loughran和Ritter（1995）的方法，计算每只基金的 "财富比率"，即初始投资的累积价值：

根据观察到的收益历史，研究共同基金业绩指标和时间范围之间的关系。现有的大部分实证文献都关注基于月度收益构建的业绩衡量指标，如夏普比率、alpha等，这些标准均依赖于月度收益的条件或无条件算术平均值。然而，相关理论并没有提供精确的预测，即从特定样本中观察到的基于复利收益构建的业绩指标与基于短线收益的业绩指标会有什么不同。

参考Farago和Hjalmarsson(2022)的研究，假设短跨度收益为独立同分布（i.i.d），为复利收益的偏度制定了一个封闭式的表达式。但是该研究结果并没有建立对本文样本幅度预测的纯粹映射，原因有二。首先，该研究考虑单个资产在固定的T个周期内的复利收益，而非集合样本（不同基金的复利收益周期数有很大差异）。其次，该研究评估的参数是基于事前的收益分布，允许未来存在潜在的长期市场收益变化，而本文评估已实现的基金收益的变化。

因此，文章进行了一系列模拟，以预测收益测量区间对观察到的样本中基金业绩指标的影响。模拟包含一系列简化的假设，包括：某只基金有收益数据的月数是随机的，因此与基金业绩或经济状况等因素无关；适用单因子市场模型；每期的收益是正态分布，均值和波动率不变，且随时间变化而独立；基金的真实alpha、betas和残差波动率横向变化，但相互独立且与时间无关。

这些简化的假设在实际数据中都有不同程度的不准确。因此，模拟提供的预测是，在一个净化的环境中，从短期收益测量转向长期复利收益的直接影响。因此，将实际数据与模拟中获得的业绩衡量标准进行比较，可以在一定程度上说明各种现实世界的复杂因素对长视野业绩衡量的重要性，如：基金发行和封闭的内生性、收益的非正态性和序列依赖性、alpha、betas和波动性之间的潜在关联性等。

为便于比较，使用经过校准的参数进行模拟以匹配每月样本的分布。将每月基金的平均beta设为1.024，每月平均（收费后）alpha设为-0.131%，每月平均管理费设为0.095%，基金平均残差波动率设为2.4%。尽管实证样本包括360个月，但平均而言，一只基金的出现时间只有132个月，标准差为97个月。复利的影响部分取决于收益复利的月份数，为了校准该维度，定义一个 "失败 "函数：即如果第t个月的结果（属于0到1区间内均匀分布的随机变量）小于0.035/ln(1+t)，则基金在第t个月失败，并且该基金的所有后续收益都被排除在模拟之外。这个简单的函数提供了一个与实际数据相当接近的基金寿命分布。

基金收益的分布部分取决于超额（超过国库券）市场收益的分布，通过市场beta的影响。试图对可以根据样本数据评估的单个基金业绩指标属性做出预测。（该样本只包含了单一时间序列的超额市场收益历史）事实上，由于有收益数据的月份并不一致，与基金收益相匹配的市场收益在不同的基金之间也不同。因此，使用SPY ETF的实际历史和1991年1月至2020年12月的360个样本月的单月国库券收益来进行模拟。

失败函数集中在模拟开始后的月数t，目的是捕捉360个月样本中不同时间点由基金成立和清盘所导致的不同基金寿命。为了将基金存在的第一个月与第一个样本月或任何其他固定日历月的SPY收益率脱钩，在每一轮模拟中随机安排了SPY实际收益（和对应月国库券收益）的顺序。虽然360个月内SPY的收益率没有因这种随机化而改变，但SPY收益率的日历月与t（基金首次出现在模拟中的月数）之间排除了时际联系。

在每一轮模拟中，产生了t=1到360个月的500个基金的收益。模拟重复了10,000次，产生了18亿个月度基金收益集合数据，以及相匹配的SPY和国库券收益，从而实现跨月复利，获得较长期限的结果。然而，在实施上述失败函数后，提出了12个月以下观测值的基金，因此计算中包含的模拟月度收益数量减少到4.78亿。通过研究每个基金的收益和对应月份的市场收益。图表3 的Panel B至Panel E报告了上述变量在特定时间段的模拟平均值、中位数、标准差和偏度统计。

2. 在除月度以外的所有时间段，基金收益的中位数都小于基金收益的平均值，反映出偏斜性。

3. 表现优于SPY的基金的百分比总是低于0.5，并且随着收益测量期限的延长而减少。具体的模拟结果为：48.4%的基金在月线上跑赢市场，42.8%在年线上跑赢市场，34.7%在十年线上跑赢市场，33.5%在终生范围内跑赢市场。

4. 财富比率在超过一个月的范围内是正偏的，平均小于1，并随着收益测量区间的扩大而减少。

Arditti和Levy（1975）首先证明，随机的短期收益复利会引起长期收益的正偏（即使短期收益是对称的）。直观而言，相似百分比幅度的反转会导致损失，导致正偏的产生（例如，连续的5%和-5%的收益，无论哪种顺序都会为-0.25%），而相似百分比幅度的延续会导致更大的收益，但损失幅度则相对较小（例如，5%的延续会导致累积收益10.25%，而-5%的延续会导致累积收益-9.75%）。除非采用的简化假设被基金经理的行为或违反假设的独立同分布收益结构系统性抵消，否则，同样的广泛影响也适用于共同基金的收益。

前文分析显示：大多数基金的表现将低于市场，而且随着收益测量区间的增加，表现不佳的比例也会增加。该现象可被归结至部分因素，包括费用的累积效应，或者更广泛而言，每月的alphas平均为负值；不同基金之间的市场betas不同并有差异等。

首先考虑累积费用的作用。为此，只需关注之前时期相同的模拟收益，但在复利前将月费加入考虑。Panel E的结果显示，费用具有一阶重要性，并支持以下预测：在基金终生范围内，复利前的基金收益率平均超过相同范围内SPY复利收益率。然而，即使在收费前的基础上，也只有少数基金在其生涯中的收益率超过了SPY。

模拟结果预测，费用在长期范围内有很大的影响；横截面平均模拟基金收益率从收费后的324%增加到收费前的438%，而SPY在匹配月份的收益率则为385%。然而，收费前基金收益的偏度足够高，以至于基金收益的中位数仅有小幅增加，而且大多数基金即使在收费前的基础上，预测也会低于SPY的表现。这种预测的结果，如果在样本数据中得到验证，意味着随着收益测量区间的扩大，超额收益率的下降并不仅仅是由于基金费用的累积比重。

如同其他大多数研究，样本基金的估计月alpha平均为负值，这一信息被纳入模拟，以便对数据中的长期业绩进行预测。alpha反映了费用、管理技能和交易成本的综合影响，而对其的估计也受到随机变化的影响。为了更有效地关注收益测量区间本身，在重复模拟的同时，规定每月的alpha值为零。对比每只基金的真实月度alpha和估计月度alpha值为零时的结果：前者对复利的纯粹影响最有参考价值。但是，由于基于真实alpha为零的基金收益在数据中无法识别，并不能对样本结果进行明确预测；后者是通过模拟超额（超过国库券）基金收益对超额SPY收益的回归，估计每轮模拟中每个基金的月度alpha，然后从同一轮模拟中的每个月度基金收益中减去所得的基金alpha估计值来实现计算。由于相应的方法可以在样本数据中实现，该方法更纯粹地展现可测试的影响。

图表3 的Panel E表明，负的月度alpha解释了大多数基金在长期范围内表现不佳的结果。根据模拟的实际基金收益，有33.5%的基金在生涯中的表现优于SPY；49%真实alpha为零的基金表现优于SPY；而43.4%估计alpha为零的基金表现优于SPY，据此可知：当月度收益率被调整为零值估计月度alpha时，所获得的基金收益率平均较大，与实际的复利基金收益率相比更经常地跑赢SPY，但胜率仍低于二分之一。

进一步，将基金收益与 "经过beta调整的 "市场收益进行比较。特别地，我们研究了T期的复利基金收益的超额部分，相对于同期beta调整后的复利收益；，beta是相对于SPY估计的每月beta，加和后为超额beta调整后的复利收益。

图表3 的Panel E显示，上述总和在模拟的基金寿命中只有29.9%是正的，这意味着beta值估计值与基准值1的偏差并非业绩不佳的主要原因，支持以下预测：beta调整后的超额复利收益平均为负值，只有不到一半的基金会超过零。

最后，图表3 的Panel F和Panel G报告了子样本在“生涯”范围内的模拟结果，这些子样本根据月度范围市场模型回归中得到的alpha估计值是正负划分。不言而喻，平均复利基金收益率和财富比率在月度alpha为正数的基金中较高，但也出现了其他影响：

1. 具有正月度alpha估计值的基金，Beta调整的超额复利收益的分布表现出强烈的正偏态，而具有负月度α估计值的基金分布是负偏的。

2. 部分基金（在模拟中占9.6%）从月度收益中获得了正的alpha估计值，但其生涯中beta调整超额复利收益却是负的。

月度alpha值为负的基金不可能有极端的右尾复利收益结果，而月度alpha值为正的基金很少有极端的左尾复利收益结果。结论强调了从短频收益中估算出的alpha作为长线投资者的业绩衡量标准的一个基本缺陷。alpha是每月超额收益的算术平均值。即使该值为正，复利结果也可能为负。

本节报告股票共同基金在三个层面的表现：年度、十年和 "终生"（基金包含在样本中的所有月份）。对于在1991年样本开始日期之前就存在或在2020年样本结束日期之后继续存在的基金，“终生”并不完全等同于基金的生命周期。图表4-图表6分别列出了年度、十年和终生的结果。

图表4的Panel A显示，共同基金在某一日历年内平均有11.3个月的收益数据，样本集合（跨基金和年份）的平均年收益率为9.47%。相比之下，SPY在相同年份相同月份的平均（跨基金和年份）收益率为10.12%，市值加权的市场收益率平均值为10.69%。当以市值加权市场为基准时，平均年度基金财富比率为0.990，而相对于SPY指数的计算结果为0.994。每个平均财富比率都与1.0的基准相差很大，P值小于1%。年度基金收益率是适度的正偏态，估计的偏度系数是0.566。基金收益的中位数是10.29%，而平均收益为9.47%。

本节报告股票共同基金在三个层面的表现：年度、十年和 "终生"（基金包含在样本中的所有月份）。对于在1991年样本开始日期之前就存在或在2020年样本结束日期之后继续存在的基金，“终生”并不完全等同于基金的生命周期。图表4-图表6分别列出了年度、十年和终生的结果。

39.3%的基金表现优于市值加权的市场组合，41.1%的基金表现优于SPY ETF。相比之下，68.8%的基金在某一年的表现超过了一个月的美国国库券。每种表现的比率都与50%的基准有很大差异，P值小于1%。

图表7显示了按日历年计算的，表现优于市场基准和国库券基准的基金百分比。大多数基金在大多数年份（但不是所有年份）的表现低于市场基准。其中，超过一半的基金在2001年和2009年的表现超过了市场基准。表现优于国库券的基金的百分比在不同年份有很大的不同，范围从2.5%到90%。2002年为2.5%，1991年、1995年至1997年、2003年至2004年以及2009年至2020年11年中的8年都超过了90%，这取决于当年股票市场的广泛表现。

图表5 报告了基于买入并持有十年的收益结果。平均而言，每十年有71个月的收益数据，不同基金十年的平均复利收益率为86.90%。相比之下，SPY在同十年相应月份的平均收益率为100.14%，同十年相同月份的平均市值加权市场收益率为104.57%。共同基金的十年收益率比年度收益率更加正偏，十年收益率的估计偏度系数为2.64（而年度收益率为0.57），十年期基金收益率的中位数仅为39.38%，远低于86.90%的平均值。正偏态在十年期共同基金收益的频率分布中很明显，显示在图表 8的Panel C中。

与年度相比，股票型共同基金在十年范围内超越市场基准的情况较少。34.1%的基金在十年期的表现优于市值加权市场，38.3%的基金在十年期的表现优于SPY ETF，而在年度期则分别为39.3%和41.1%。股票共同基金在十年期的平均财富比率相对于市值加权市场是0.953，相对于SPY指数是0.983。共同基金的平均财富比率小于1的事实可以归因于费用和交易成本的影响，而不到50%的基金表现优于市场基准的事实则反映了累积费用和收益分布中的偏度的影响。

图表6的Panel A报告了全样本（1991年至2020年数据库内）范围的相应结果。在7883个样本基金中，只有347个包含所有月份的收益数据。平均而言，各基金有133个月的收益数据（中位数为112个月）。股票基金的平均终生买入并持有收益率为294.35%。相比之下，同期SPY指数的平均买入和持有收益率为297.69%，市值加权股票市场的平均买入并持有收益率为332.88%。股票基金终生平均财富比率相对于市值加权的股票市场是0.884，相对于SPY ETF是0.935。

共同基金终生收益分布表现出显著的正偏态，估计的偏度系数为6.40，偏度在图表 8 Panel D上显示的频率分布中可以观察到。共同基金的终生收益率中位数为95.09%，而平均收益率为294.35%。在整个样本中，只有24.1%的基金收益率超过了市值加权的市场收益率，而30.3%的基金的收益率超过了SPY ETF，虽然大多数基金在整个样本中的表现优于T-bills，但仍有20.8%的基金表现劣于T-bills。

图表6的Panel A报告了每个变量的第95百分位数结果。虽然跨基金买入并持有的收益率中位数是95.1%，但分布的第95百分位数是1420%。与SPY指数相比，第95百分位的财富比率为1.598，这意味着在基金的生命周期内，基金的累计总收益是SPY指数累计总收益的近1.6倍。也就是说，虽然复利基金收益分布中存在正偏度，意味着许多基金表现不佳，但也反映出一些基金表现出非常强劲的业绩。

图表6的Panel B报告了四组基金的寿命结果，四组基金根据数据库包含基金收益数据的时间长度划分，寿命分别为：1-5年（2336只）、5-10年（1814只）、10-15年（1675只）、15-30年（2058只）。显然，由于表现不佳的基金可能更早被清盘，所以寿命较短的基金平均表现更差。例如，只有24.6%的基金寿命少于5年，其终生买入并持有的收益率超过了SPY，而且这些基金中只有一小部分（58.4%）的表现超过了一个月的国库券。相比之下，几乎所有寿命超过15年的基金（97.7%）的表现都超过了国库券。即使在寿命最长的组别中（这一特征只能在事后观察），也有不到一半（43.3%）的基金跑赢了SPY，不到三分之一（32.6%）跑赢了市值加权市场。

上述结果尤其说明，超过40%的基金在数据中出现的时间不到5年，在其生命周期中表现不如国库券。这部分反映了一些基金不幸在市场高峰期或接近高峰期时启动，在市场衰退之前或市场恢复之前就被清盘。为了评估这一点，构建了哑变量：如果SPY基金在数据库中存在的月份中表现优于国库券，则该变量等于1，否则等于0。图表6的Panel B报告了各组基金哑变量的平均值，并支持如下结论：短寿命基金表现不佳的比率高，部分源于其推出于整体市场表现不佳的时期之前。特别是，在基金存续期间，SPY表现优于国库券的基金比例随着基金存续期的增加而增加，对于存续期不超过5年、5-10年、10-15年和15年以上的基金，分别为于68.3%、80.4%、92.0%和100%。同时，结果表明，SPY的表现并不是表现不佳基金寿命较短的唯一原因。表现不佳的基金与SPY表现不佳的基金的百分比之差（或者说，即使SPY在其生命期内表现优于国库券，但表现不佳的基金的百分比）从生命期少于5年基金的9.9%降至生命期大于15年基金的2.3%。

图表6的Panel C中，报告了在基金存续期间SPY收益率超过或低于国库券的终生结果。共有1230个样本基金的SPY收益率在其生命周期内未能超过国库券收益率。这些基金中只有15%的基金本身表现优于国库券，而这些基金中表现优于SPY的比例为37.4%。相比之下，在6653只基金中，SPY在其生命周期内的表现超过了国库券，91.1%的基金表现超过了国库券，29.0%的基金表现超过了SPY。

Fama和French(2010)记录了当收益在月度范围内衡量时，股票共同基金作为一个类别表现低于市场基准。这里的结果显示，表现不佳的比率在较长的收益范围内增加，即随着时间的推移，收益的复利导致长线收益的分布出现正偏态。

学者们用“波动性拖累 ”这一术语，来描述复利收益率低于短期收益率的算术平均值的现象。显然，对于每一个波动率为正的时间序列，几何平均收益率都低于算术平均收益率，而且这种差异会随着收益率波动的增加而增加，但在关注短线收益率算术平均数的广泛的基金文献中，还没有讨论月平均收益率对投资者长期结果的潜在误导程度的研究，本文弥补了这一空白。

共同基金在年度、十年和 "终生 "范围内收益的经验结果有力地支持了根据模拟得到的含义。除月度外，复利基金收益率在所有时间段都是正偏态的，而且偏斜度随着收益测量时间段的增加而增加。在月度以上的所有期限中，基金收益的中位数低于基金收益的平均值，在较长的期限中更明显。复利收益率超过SPY复利收益率的基金的百分比总是低于一半，并且随着收益测量区间的扩大而减少。

图表4-图表6中报告的复利基金收益的具体经验结果不仅与基于模拟的含义方向一致，而且样本参数估计值与模拟参数大致相似。例如，实际数据中基金收益率在月度、年度、十年和终生范围内的偏度系数分别为-0.42、0.57、2.64和6.40，而模拟结果为-0.39、0.53、2.88和7.31。在月度、年度、十年和终生范围内，样本中超过同期SPY收益的基金收益百分比为47.2%、41.1%、38.3%和30.3%，而模拟结果为48.4%、42.8%、34.7%和33.5%。

模拟结果是建立在许多过度简化的基础上的，包括基金寿命与市场条件或过去的业绩无关，单期收益是正态分布且随时间独立，公司参数如betas和alphas是随机分布，等等。因此，模拟结果说明了随机基金寿命中随机收益的纯复利效应。基于样本的结果与基于模拟的结果有广泛的相似性，这表明基金成立和清盘的内生决定、月度收益的非正态性以及各种形式的序列依赖性，并不是复利基金收益与根据短期收益构建的指标相比包含不同基金业绩信息的主要原因。

前面几节介绍的结果涉及到7883只基金的全部样本。然而，正如图表1的数据所示，基金规模的分布是高度倾斜的，平均基金TNA为11.8亿美元，而中位数为1.49亿美元。存在可能：记录的高业绩不佳率主要是由较小的基金造成的。接下来将评估基金规模与长期投资业绩之间的关系。然而，许多研究（例如，见Cremers等人（2019））已经记录了投资流量对先前基金业绩的反应，这意味着收益可能导致基金规模的变化；即基金规模是内生的。此外，样本开始时的基金规模对可能很长的基金寿命过程中的规模没有很大的影响。

为评估基金规模的作用，同时避免因内生资金流动而产生的偏差，采取以下程序：首先编制每个样本月基金规模的横截面分布，并记录每个月的基金规模分布中的百分位数。然后，确定某只基金的规模是否超过了样本中任何一个月规模分布的第25、50或75个百分点。如此可构建三个子样本：第一个子样本排除了规模从未达到第25百分位的基金，第二个子样本排除了规模从未达到第50百分位的基金，第三个子样本排除了规模从未达到第75百分位的基金。在这些子样本中，只研究基金规模大于阈值的第一个月后的收益。排除此日期之前的收益，可以避免因内生资金流动而产生的前瞻偏差。

图表 9报告了上述各规模组的基金的月度、年度、十年和终生收益。对于只包含大型基金的子样本来说，复利收益的分布并没有那么高的偏度。特别是，最大的基金子样本的 "终生 "收益的偏度为4.70，而全样本的偏度为6.40。在年度范围内，41.1%的全样本基金表现优于SPY ETF，而最大的子样本中只有41.8%的基金表现优于SPY ETF。在 "终生 "范围内，全样本中30.3%的基金表现优于SPY，而在最大的基金子样本中，29.6%的基金表现优于SPY。总的来说，这些结果表明，图表4-图表6的结果所支持的关键结论并不主要归因于样本中小基金的存在，即使在较大基金的子样本中也成立。

在图表 10中，显示了根据各种基金特征对基金进行分类后，在其生命周期内表现优于基准的样本基金的百分比。Panel A、B和C分别报告了基准为市值加权市场、SPY ETF和一个月国库券时的结果。投资组合根据以下几个特征进行分组：

1.     每月基金收益与每月SPY收益的回归中的R平方统计（衡量基金简单跟踪整个市场的程度）

2.     同一回归中的斜率系数（beta估计值）。

3.     终生平均基金费用和开支（基于CRSP "费用率 "变量）占TNA的百分比。

4.     月度基金收益的波动性（特别是标准差）。

5.     月度基金收益的偏度。

6.     基于TNA的终生平均基金规模。

根据图表 10中显示的结果，可以得出，长期基金业绩一般与特征没有任何简单或线性关系。虽然从这些指标来看，处于第一个十分位数的基金往往表现不佳，但不同十分位数的基金表现不佳率通常不是单调的。以估计的基金beta值为例，beta最低的十分位数（平均beta值=0.523）的基金表现优于SPY的比率仅为15.7%，而第八个十分位数（平均beta值=1.134）为40.6%，但第十个十分位数（平均beta值=1.576）仅为22.1%。收费和超额收益率之间的关系也不是单调的。虽然费用最高的十等分基金（每月平均费用率为0.187%）相对于SPY的业绩表现较低（20.5%），但费用和开支最低的十等分基金（每月平均费用率为0.018%）相对于SPY的业绩表现也相对较低（33.6%），因为这类基金主要是指数基金。相对于SPY的最高表现率（33.3%）是在费用和开支的第六个十分位数的基金（平均每月0.100%）。图表 10中记录的非线性关系提醒我们不要假定长期的基金业绩可以通过基金特征和业绩之间的简单单变量关系来解释。

复利收益分布中的正偏度意味着，当收益以长线衡量时，大多数基金将倾向于跑输市场基准。Bessembinder（2018）以及Farago和Hjalmarsson（2022）表明，长线收益的偏度主要由短线收益的波动性决定，在共同基金的环境中，这部分取决于基金组合的分散程度。当然，与市场基准相比，长期表现不佳的比率也取决于短线alpha的大小。总的来说，如果短线收益波动较大，且指数为负数，则主动型投资组合在长期内最容易表现不佳；如果短线收益波动较小，且指数为正数，则表现不佳的情况较少。这些考虑意味着一种权衡，即较大的alpha可以抵消复利导致长期收益表现不佳的趋势。

对于分析性评估，假设主动型基金和市场基准的价格演变由几何布朗运动描述，具有独立和相同的增量，并且基金相对于市场的瞬时beta值为1。瞬时基金收益的平均值与瞬时基准收益的平均值相差一个瞬时，而瞬时非市场（残差）收益的方差则表示为。如果，主动基金的复利收益率中值等于复利市场基准收益率中值，意味着复利基金收益率超过复利市场收益率的概率为50%（文献附录证明）。

由于任何给定投资组合的剩余波动率将随着投资组合中股票数量的增加而趋于下降，这一分析意味着分散程度较低的投资组合需要更高的alpha来达到所述的收支平衡。举例来说，如果每只股票的瞬时残差波动率为每月12%，每对股票的残差收益之间的瞬时相关性为0.1（允许例如行业效应），那么依靠标准投资组合理论，有5只股票的投资组合的瞬时残差收益方差将为0.40%，而100只股票的投资组合的瞬时残差收益方差将为0.16%。如果是这样，需要每月0.20%的瞬时阿尔法来产生50%的概率，即五只股票的投资组合将超过市场基准，而100只股票的投资组合则需要每月0.08%的阿尔法来产生同样的结果。

前面的分析是基于市场基准和假设基金的事前概率分布，同时假设连续的收益在统计上是独立同分布，并且所有的市场Beta都等于1。相比之下，实证样本反映的是在违反独立同分布假设和不同基金市场betas不同的情况下，单一的市场收益的实现时间序列。为了获得更多的观点，进行一次数字搜索，以评估恒定的收益增量，当把它加到数据中的每个月的基金收益上时，就会产生50%的基金在其生命周期中表现优于SPY的结果。搜索结果显示，每月0.124%的收益率增量就足以实现这一结果。这个数字在经济意义上非常可观；相比之下，样本的平均费用率是每月0.095%。只有39.8%样本基金估计的月度指数大于这个基准值。

复利的特性保证了短线收益的高波动性，意味着长线收益的高偏度。这种较高的偏度反过来意味着相对于市场基准而言，表现不佳的可能性更大。这种表现不佳的趋势可以被非市场收益的平均值（即alpha）所抵消。正如前文所展示的，提供基金表现优于基准的50%概率所需的alpha取决于残差收益波动率。

研究共同基金收益的文献记载，共同基金收益平均落后于市场基准。这种经验上的规律性往往归因于基金收取管理费和交易成本。一些基金经理可能比较优秀，但不足以完全克服费用和其他成本。此外，基金的系统性风险暴露也很重要。如果某只基金的市场beta系数小于1，那么可以预计，即使没有费用或开支，该基金在任何事后市场超额收益为正的时期都可能表现不佳。

首先评估高比例的业绩不佳是否可归因于管理费。如图表 11的Panel A所示，管理费平均每月为0.095%。为此，对每只基金和每个月的报告收益率加上基金的月费百分比，以获得相当于收费前的收益率。图表 11左侧的Panel B报告了对全样本费前收益进行比较的结果。

值得注意的是，费前的买入并持有共同基金的平均复利收益率为393.6%，超过了SPY和市值加权市场同期内的平均复利收益率，分别为297.7%和332.9%。这个长线收益的结果补充了Berk和van Binsbergen（2015）以及Fama和French（2010）的结论。当计算费前收益复利时，平均财富比率为1.011。也就是说，如果考虑收费前的收益，共同基金在长期内平均表现优于市值加权市场。相对于SPY指数而言，收费前共同基金收益的超额表现更优秀：平均财富比率为1.074。

然而，收费前基金收益的中位数远远低于平均值，即只有少数基金的表现超过了市场基准。

有37.6%的基金的费前买入并持有收益超过了市值加权市场，有45.2%的基金超过了（收费后）SPY买入并持有收益。后者的结果与基于模拟的预测（图表3 ）相当接近，即44.7%的基金在收费前的表现会超过SPY。总的来说，这些结果意味着，虽然费用的累积效应很重要，但长周期复利收益分布中的偏度仍然是许多共同基金在长线内表现不如基准的主要原因。

除了费用之外，共同基金的收益还受到交易成本和管理技能的影响。接下来关注的是估计的基金alpha，其反映了费用、交易成本和管理技能的综合影响，接下来通过对基金超额收益与SPY超额收益的回归来估计每只基金的alpha。在30年股票基金样本中，平均每月的alpha估计值（图表 11的Panel A）为-0.131%。然后从基金每个收费后月度收益中减去基金的alpha估计值（平均为负）。从结构上看，使得样本中每月的alpha估计值为零。最后，将这些 "零alpha "的月度收益进行复利，并将结果与市场基准进行比较。

结果表明，即使零alpha收益被复利计算，大多数基金的表现低于市值加权市场。尤其，在收益复利前扣除alpha估计值时，只有36.2%的基金在其生命周期内表现优于SPY。管理费、其他费用和交易成本无疑是导致不到一半的共同基金在长期内表现优于市场基准的经验事实。然而，本分析表明，长线共同基金收益分布中的正偏度也很重要。

图表 11中关于零alpha收益的实证结果与图表3 中相应的模拟结果明显不同。特别是，在实际基金中，有36.2%的零alpha基金收益率超过了SPY指数，而模拟结果则预测为43.4%。此外，图表 11的实际数据中，终生零alpha的平均收益率低于相应的SPY平均收益率，而图表3 的模拟零alpha基金的平均收益率则超过模拟SPY收益率。这种结果上的分歧可能部分反映了alpha估计值的分布是负偏斜的，月平均alpha等于-0.13%，而中位数为-0.08%，而模拟的alpha估计值由于模拟中包含的正态性和独立同分布假设而几乎完全对称。

基金相对于这些基准的不佳表现，可能部分归因于因子风险。特别是现金比例：假设基金投资于风险资产的部分获得了与整体市场相同的收益，但也保留了一些现金资金，那么其市场beta系数将小于1，并且在市场收益率超过现金收益率的任何时间段，其表现也会低于市场。

为了评估这种可能性，我们把重点放在去除市场风险和市场结果的影响后的基金收益上。在每月超额基金收益对超额SPY收益的回归中得到的每只基金估计月度betas，并为每只基金编制T期的复利基金收益超额部分，相对于同期beta调整后的复利收益；，beta是相对于SPY估计的每月beta，加和后为超额beta调整后的复利收益。

图表 11的Panel C显示，与第2节报告的模拟结果一致，平均超额beta调整的复利收益率为负值，相当于-11.1%。然而，超额beta调整复利收益的分布是强烈的正偏态，偏度系数为8.6。不到三分之一（31.7%）的基金有正的超额beta调整复利收益。相应的基于模拟的预测是，29.9%的基金有正的beta调整复利收益。

Panel C还报告了基于估计月度alpha符号的基金子样本的结果。这些结果也证实了第2节中所进行的模拟的含义。对于月度alpha估计值为正的基金，beta调整超额复利收益的偏度是显著的正数，而对于alpha估计值为负的基金，偏度是负数。虽然那些月度alpha估计值为负的基金的超额beta调整复利收益在结构上是负的，但月度alpha估计值为正的基金的超额beta调整复利收益的符号不一定是正的。具体来说，12.2%的月度alpha估计值为正的基金，其超额beta调整复利收益率却为负。这个结果加强了一个观点，即短收益期的alpha，作为一个条件性的算术平均值，可能会误导较长时期的复利表现。

到目前为止的研究成果，包括更广泛的共同基金文献，都侧重于包括分红在内的基金收益。因此，这些结果依赖于一个隐含的假设，即分红被再投资于基金。在实践中，投资者可能在某些基金或某些时期将分红完全再投资，但在其他时期并非如此。此外，投资者总的来说可能会投资或提取额外的资金（资金 "流动"），其影响既没有体现在本文所研究的复利买入并持有的收益中，也没有体现在更广泛的文献所研究的算术平均收益中。

构造以下框架来量化共同基金投资者的情况，同时考虑基金规模、基金寿命、投资者资金流以及机会成本。W_0表示投资者的样本开始时的财富，并假设在T个时期内研究收益。投资者每期将财富分配给收益率为R_t=R_ct+R_dt的共同基金，其中R_ct是第t期收益率中的资本收益部分，R_dt是股息部分，而另一项投资的收益率则表示为R_at。替代投资的收益包括投资于共同基金资金的机会成本。投资者有可能在t时间内对基金进行投资（或流动），金额为F_t（用F_t<0表示资金的撤回）。让W_t、A_t和M_t分别代表t时间投资者财富、替代资产的头寸价值和共同基金的头寸价值，W_t=A_t+M_t。

替代资产的头寸价值根据A_t=A_t-1(1+R_at)+M_t-1*R_dt-F_t演变，因为投资者获得了替代资产的收益，收取了任一共同基金的分红，并可能增加或减少共同基金的投资。投资者在共同基金中的持仓价值根据M_t=M_t-1*(1+R_t)+F_t演变，基于资本收益收益和任何流向基金的净投资。投资者在时间t的财富可以表示为W_t=A_t-1(1+R_at)+M_t-1(1+R_ct)。因此，自上期以来，由于将一些资金投资于共同基金而不是替代资产而增加的财富是：

        设FV_t,T=(1+R_at+1)*(1+R_at+2)*...*(1+R_aT)，表示由备选资产从时间t到时间T已实现收益的复利未来价值因子。应用（1）迭代得出以下表达式：

讨论表达式（2）的另一个版本，其中简单的差分R_t-R_aT在每个时期t被当月的 "非市场 "收益所取代，该收益是由超额基金收益对超额替代资产再投资的市场模型回归所估计的alpha与该回归时间t的残差之和，用alpha+epsilon_t表示。在考虑到基金对另类资产收益的风险（beta）后，乘积可以被解释为基金投资者的美元超额收益。当基于收费前的基金收益时，t在概念上类似于Berk和van Binsbergen（2015）在其表达式（5）中定义的 "实现增值（RVA）"指标。然而，Berk和van Binsbergen将他们每个月t的RVA指标估计为M_t-1*alpha，其中M_t-1*是通货膨胀调整后的M_t-1，并研究每个基金RVA的跨月平均值。因此，他们没有捕捉到多个时期随机收益的复利效应。

公式（2）衡量了投资者总财富的增加，既取决于收益率差，即表达式（2）中的R_t-R_aT，也取决于每期的投资数量，即M_t项，以CRSP报告的基金总净资产（TNA）来衡量。投资数量随着时间的推移而变化，不仅基于先前的收益，而且基于投资者的净追加投资或撤资，即 "资金流量"。因此，执行公式（2）的结果既取决于管理者提供超过替代资产收益的技能，也取决于投资者资金流动相对于这些收益的时间。我们通过计算每只基金的 "资金加权 "收益率来评估投资者资金流的贡献，然后将其与几何平均收益率（复利后即为买入并持有的收益率）进行比较，由于几何平均收益率不受投资者资金流动的影响，因此两者差异可以说明投资者资金流动对收益的影响。如果较大的收益往往发生在基金资产较小的时期（例如，如果一期显著高收益带来了资金流，但随后的收益正常），那么资金加权收益将小于几何平均收益，反之亦然。

图表10的Panel A报告了样本基金每月几何平均和资金加权收益的分布情况。该数据显示，投资者的择时操作更多降低了业绩。特别是，基金几何平均收益的跨基金平均值（中位数）为0.466%（0.642%），而跨基金的资金加权收益平均值（中位数）为0.376%（0.574%）。也就是说，反映资金流动的资金加权收益往往比几何平均收益每月少9个基点，而几何平均收益则与买入并持有的投资者有关。这种归因于择时的收益率差异与基金费用影响的程度相当。60.8%的样本基金的资金加权收益率低于同基金的几何平均收益率。

图表 12的Panel B报告了对全部样本实施公式（2）时得到的结果。如果机会成本由一个月的国库券收益率来定义（图表 12第一行，Panel B），共同基金投资使投资者的期末财富增加了8.66万亿美元。这个数字可以解释为共同基金投资者因承担基金投资风险而获得的事后美元风险溢价，并验证了共同基金投资使投资者能够大量获得因上市股票而带来的财富增长。74.4%的样本基金的事后美元风险溢价为正。

图表 12Panel B第二行报告了SPY ETF作为替代资产时的结果。这个基准具有重要意义，因为投资者原则上可以通过简单的买入并持有以及分红再投资策略来获取SPY的收益，而且股票共同基金投资与股票指数基金投资的风险大致相似。据我们统计，在三十年的样本期内，共同基金投资者的总财富相对于SPY的基准值少了1.31万亿美元。

然而，公式(2)在每个时期都依赖于基金收益和替代资产收益之间的简单差异，这个差额可能包含了基金和替代资产系统性风险差异的成分。考虑到这一点，用当月“非市场”收益取代对应的R_t-R_aT，再执行表达式（2），（隐含假设：替代资产包括市场的适当代理），得到SPY收益市场模型回归中估计的alpha与该回归的时间t残差之和，表示为alpha+epsilon_t。

图表 12的Panel B第三行报告了当替代资产是SPY ETF的beta调整收益时，所产生的财富增值结果。可知，当允许估计的beta值与1不同时，样本结束时的财富增值提高了0.28万亿美元（从-1.31万亿美元到-1.02万亿美元）。在风险调整的基础上，导致样本期末财富增加的基金比例提高到26.3%，而在公式(2)中假设beta为1时，这一比例为25.4%。

前一节报告的结果是基于CRSP报告的实际、扣除费用的共同基金收益，本节假设费用豁免而腾出的资金在共同基金之外进行再投资，在投资组合中赚取国库券和SPY ETF收益的加权平均值。根据CRSP费用率和CRSP报告的每个基金和月份的TNA计算，三十年样本期间支付的名义费用总额为0.73万亿美元。如果假设费用返还没有收益，那么费用豁免将使共同基金投资者在样本结束时的财富增加这一数额。图表 12的Panel C第（2）栏统计了费用豁免的净效应，如果豁免费用的资金投资于国库券和SPY的投资组合。在所有资金都投资于国库券的情况下，费用豁免对最终财富的影响是0.84万亿美元。如果资金按照通常推荐的60/40投资组合（SPY指数占60%的权重）进行投资，豁免费用带来的财富增长将达到1.52万亿美元。如果资金完全投资于SPY指数，豁免费用带来的财富增值将达到2.24万亿美元。

长线结果支持正在形成的美国基金行业共识，即共同基金经理确实拥有技能。然而，对美国股票型共同基金三十年样本的研究结果也支持如下结论：管理技能不足以抵消费用和投资者资金流的综合影响，基于费用后收益的财富增值结果总体上是负的。

研究基金（包括共同基金、对冲基金、养老基金等）收益表现的文献非常多，但大多数证据都是基于短期（如每月）测量的收益的条件或无条件的算术平均值。然而，实证表明，投资业绩的简单衡量标准因衡量收益的期限而不同。

本文研究了1991年至2020年期间的美国股票共同基金，结果表明，表现优于市场基准的基金的百分比随着收益测量频度的拉长而减少。在月度数据中，有47.2%的股票共同基金的收益率超过了SPY ETF同期月收益率，在年度上，这个数据降至41.1%，在（基金特定的）全样本数据上降至30.3%。此外，即使是一些根据月度收益率估计为正数的基金，在长周期内也会产生负的beta调整超额复利收益。

此外，虽然基金费用和因子载荷很重要，但它们不能完全解释收益测量区间对投资结果的影响，也不能将这些影响完全归因于市场风险。相反，这些结果反映了两个重要的事实。首先，长周期下基金买入并持有收益的横截面分布是强烈的正偏态，而这种偏斜在短频（每月）收益的集合分布中是观察不到的。

当然，虽然强烈的正偏度意味着许多基金表现不佳，但有些基金表现非常好。在7883只样本基金中，有442只基金拥有正的全样本复利收益，超过了匹配月内对SPY的复利收益的两倍，有160只基金在全样本匹配月内拥有三倍于SPY的复利收益。

同时，本文评估了共同基金投资对投资者财富的总体影响。当专注于beta调整后的SPY ETF收益（可由投资者获取）来定义机会成本时，计算出共同基金投资使投资者的总财富减少了略多于1万亿美元。如果假设费用豁免者也会获得SPY的收益，那么共同基金投资使投资者的财富增加了1.22万亿美元，该增额可以视作对基金经理总体技能价值的一种衡量。

文献来源：

重要声明

适当性说明

《证券期货投资者适当性管理办法》于2017年7月1日起正式实施，通过本微信订阅号/本账号发布的观点和信息仅供华安证券的专业投资者参考，完整的投资观点应以华安证券研究所发布的完整报告为准。若您并非华安证券客户中的专业投资者，为控制投资风险，请取消订阅、接收或使用本订阅号/本账号中的任何信息。本订阅号/本账号难以设置访问权限，若给您造成不便，敬请谅解。我司不会因为关注、收到或阅读本订阅号/本账号推送内容而视相关人员为客户。市场有风险，投资需谨慎。

投资评级说明

以本报告发布之日起12个月内，证券（或行业指数）相对于沪深300指数的涨跌幅为标准，定义如下：

行业及公司评级体系

买入—未来6-12个月的投资收益率领先市场基准指数15%以上；增持—未来6-12个月的投资收益率领先市场基准指数5%至15%；中性—未来6-12个月的投资收益率与市场基准指数的变动幅度相差-5%至5%；减持—未来6-12个月的投资收益率落后市场基准指数5%至15%；卖出—未来6-12个月的投资收益率落后市场基准指数15%以上；无评级—因无法获取必要的资料，或者公司面临无法预见结果的重大不确定性事件，或者其他原因，致使无法给出明确的投资评级。市场基准指数为沪深300指数。

分析师承诺

本人具有中国证券业协会授予的证券投资咨询执业资格，以勤勉的职业态度、专业审慎的研究方法，使用合法合规的信息，独立、客观地出具本报告，本报告所采用的数据和信息均来自市场公开信息，本人对这些信息的准确性或完整性不做任何保证，也不保证所包含的信息和建议不会发生任何变更。报告中的信息和意见仅供参考。本人过去不曾与、现在不与、未来也将不会因本报告中的具体推荐意见或观点而直接或间接收任何形式的补偿，分析结论不受任何第三方的授意或影响，特此证明。

免责声明

华安证券股份有限公司经中国证券监督管理委员会批准，已具备证券投资咨询业务资格。本报告中的信息均来源于合规渠道，华安证券研究所力求准确、可靠，但对这些信息的准确性及完整性均不做任何保证，据此投资，责任自负。本报告不构成个人投资建议，也没有考虑到个别客户特殊的投资目标、财务状况或需要。客户应考虑本报告中的任何意见或建议是否符合其特定状况。华安证券及其所属关联机构可能会持有报告中提到的公司所发行的证券并进行交易，还可能为这些公司提供投资银行服务或其他服务。

本报告仅向特定客户传送，未经华安证券研究所书面授权，本研究报告的任何部分均不得以任何方式制作任何形式的拷贝、复印件或复制品，或再次分发给任何其他人，或以任何侵犯本公司版权的其他方式使用。如欲引用或转载本文内容，务必联络华安证券研究所并获得许可，并需注明出处为华安证券研究所，且不得对本文进行有悖原意的引用和删改。如未经本公司授权，私自转载或者转发本报告，所引起的一切后果及法律责任由私自转载或转发者承担。本公司并保留追究其法律责任的权利。

有态度的金融工程&FOF研究

长按识别二维码关注我们

本篇文章来源于微信公众号: 金工严选